이번 포스트에서는 사건의 독립의 정의와 함께 복원추출 및 비복원추출의 예제를 살펴보겠다. 그리고 조건부 확률의 정의와 함께 예제도 같이 확인해 보겠다.
1. 독립사건
두 사건이 서로 독립이기 위한 필요 충분조건은,
P(A ∩ B) = P(A) * P(B) ⇔ P(B ∩ A) = P(B) * P(A)
예제1)
6개 눈이 있는 주사위를 두 번 던지는 경우를 생각해 보자.
주사위를 2번 덜질 때 발생 가능한 모든 경우의 수는 36개 이다.
처음에 4가 나오고(A) 두번째 5가 나오는(B) 확률 = 1/6*1/6
즉, P(A ∩ B) = P(A) * P(B) => 사건A와 사건 B는 독립이다.
예제2)
주사위를 던졌을 때 다음과 같이 사건을 정의해 보자.
사건 A = 주사위를 던져서 3보다 작은 눈이 나오는 사건 = {1,2,3} => P(A) = 1/2
사건 B = 주사위를 던져서 짝수가 나오는 사건 = {2,4,5} => P(B) = 1/2
A ∩ B = {2} => P(A ∩ B) = 1/6
∴ P(A ∩ B) ≠ P(A) * P(B) => 사건A와 사건B는 독립이 아니다.
예제3)
주사위를 두 번 던지는 경우를 생각해 보자.
사건 A = 첫번째 던진 주사위가 3보다 작은 눈이 나오는 사건
= {(1,1),…,(1,6),(2,1),…,(2,6),(3,1),…,(3,6)} => P(A) = 18/36 = 1/2
사건 B = 두 번째 던진 주사위가 짝수가 나오는 사건
= {(1,2),…,(6,2),(1,4),…,(6,4),(1,6),…,(6,6)} => P(B) = 18/36 = 1/2
A ∩ B = {{(1,2),(1,4),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6),(3,2),(3,4),(3,6)} => P(A ∩ B) = 9/36 = 1/4
∴ P(A ∩ B) = P(A) * P(B) => 사건A와 사건B는 독립이다.
2. 복원추출과 비복원추출
연필꽂이에 4가지 색의 연필이 있다. {빨강, 녹색, 파랑, 자주}. 연필을 2번 뽑을 때,
사건 A 는 “첫 번째 연필이 빨강 혹은 녹색일 사건”,
사건 B는 “두 번째 연필이 빨강 혹은 녹색일 사건” 이라고 하자.
표기의 편의상, 빨강 = R, 녹색 = G, 파랑 = B, 자주 = P 라고 가정한다.
① 복원추출 : 뽑은 연필을 다시 꽂을 경우,
S = {RR, RG, RB, RP, GR, GG, GB, GP, BR, BG, BB, BP, PR, PG, PB, PP}
A = {RR, RG, RB, RP, GR, GG, GB, GP}
B = {RR, RG,GR, GG, BR, BG, PR, PG}
A ∩ B = {RR, RG, GR, GG}
p(A ∩ B) = 4/16 = 1/4, P(A) = 8/16 = 1/2, P(B) = 8/16 = 1/2,
∴ P(A∩B) = P(A) * P(B), 사건 A와 B는 독립이다.
② 비 복원추출 : 뽑은 연필을 다시 꽂지 않을 경우
S = {RG, RB, RP, GR, GB, GP, BR, BG, BP, PR, PG, PB}
A = {RG, RB, RP, GR, GB, GP}
B = {RG,GR, BR, BG, PR, PG}
A ∩ B = {RG, GR}
p(A ∩ B) = 2/12 = 1/6, P(A) = 6/12 = 1/2, P(B) = 6/12 = 1/2,
∴ P(A∩B) ≠ P(A) * P(B), 사건 A와 B는 독립이 아니다.
3. 조건부 확률
사건 A가 주어졌을 때,
사건 B의 조건부 확률은 다음과 같다.
P(B|A) = \dfrac {P(B \cap A)}{P(A)}
앞의 복원추출과 비 복원추출 문제의 조건부 확률을 구해보자.
① 복원추출 : P(B|A) = P(B∩A) / P(A) = (1/4) / (1/2) = 1/2
② 비 복원추출 : P(B|A) = P(B∩A) / P(A) = (1/6) / (1/2) = 1/3
조건부 확률은 크게 두 가지 경우에 사용된다.
- P(A) 와 P(A∩B) 가 주어졌을 때, 조건부확률 P(B|A) 를 계산할 때
- P(A) 와 P(B|A) 가 주어졌을 때, P(A∩B) 를 계산할 때 ( P(A∩B) = P(A) * P(B|A) )
재미난 예를 하나 들어보자.
Alice 와 Bob 이 저녁을 먹으러 간다. 그들은 동전을 세 번 던져서 누가 저녁을 살지 결정하기로 했다. 세 번 던져서 앞면이 더 많으면 Alice 가 저녁을 사고, 아니면 Bob 이 사기로 했다. 명확히 50% 의 확률의 내기이다.
표본공간을 살펴보면,
S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
A = “Alice 가 사는 경우” = {HHH, HHT, HTH, THH}
B = “Bob 이 사는 경우” ={HTT, THT, TTH, TTT}
만약, 동전을 한번 던졌는데 그 결과가 “앞면” 이라면 (사건 E라고 부르자.) 그들의 내기의 확률은 어떻게 다시 평가할 수 있을까?
E = {HHH, HHT, HTH, HTT}
P(A|E) = P(A∩E) / P(E) = P({HHH, HHT, HTH}) / 1/2 = (3/8) / (1/2) = 3/4
P(B|E) = (B∩E) / P(E) = P({HTT}) / 1/2 = (1/8) / (1/2) = 1/4